গণিত ইশকুলের নতুন সিরিজে আপনাদের সবাইকে স্বাগতম। ছোটবেলায় উৎপাদক নিয়ে কাজ করতে গিয়ে আমরা অনেকেই বেশ সমস্যায় পড়তাম। বিশেষ করে বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে সব কটি উৎপাদক সঠিকভাবে বের করা ছিল বেশ চ্যালেঞ্জিং। কোনো উৎপাদক বাদ পড়ে গেল কি না, সেই দুশ্চিন্তায় অঙ্ক ভুল হওয়ার সম্ভাবনাও থাকত। তবে যেকোনো সংখ্যার মোট উৎপাদক সংখ্যা কত, তা বের করার একটি চমৎকার গাণিতিক সূত্র রয়েছে। আজ আমরা সেই সহজ পদ্ধতিটিই শিখব।

উদাহরণ হিসেবে আমরা ৫৯৮০০ সংখ্যাটিকে বেছে নিই। এই সংখ্যাটির মোট উৎপাদক সংখ্যা বের করার প্রক্রিয়াটি নিচে ধাপে ধাপে দেওয়া হলো

উৎপাদক নির্ণয়ের ধাপসমূহ

• ধাপ ১: প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। ৫৯৮০০-এর ক্ষেত্রে আমরা পাই: ৫৯৮০০ = ২×২×২×২×৩×৫×৫×৭×৭।
• ধাপ ২: এবার মৌলিক সংখ্যাগুলোকে ভিত্তি ধরে তাদের সূচক বা ঘাত আকারে লিখতে হবে। অর্থাৎ, ৫৯৮০০ = ২⁴×৩¹×৫²×৭²।
• ধাপ ৩: প্রতিটি সূচকের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোকে পরস্পর গুণ করতে হবে। এখানে সূচকগুলো হলো ৪, ১, ২ এবং ২। এদের সাথে ১ যোগ করলে পাই (৪+১), (১+১), (২+১) এবং (২+১)।
• ফলাফল: এই সংখ্যাগুলো গুণ করলে হয় ৫×২×৩×৩ = ৯০। অর্থাৎ, ৫৯৮০০ সংখ্যাটির মোট ৯০টি ধনাত্মক উৎপাদক রয়েছে।

সহজ কথায়, কোনো সংখ্যাকে যদি মৌলিক ভিত্তির ঘাত হিসেবে A=pˣqʸrᶻ আকারে প্রকাশ করা যায়, তবে তার মোট উৎপাদক সংখ্যা হবে (x+1)(y+1)(z+1)টি। এই সূত্রের গাণিতিক ভিত্তি মূলত কম্বিনেটরিক্স বা বিন্যাস-সমাবেশের ওপর প্রতিষ্ঠিত।

বিষয়টি আরও সহজভাবে বোঝার জন্য ফলমূলের একটি উদাহরণ নেওয়া যাক। ধরুন, আপনার কাছে ৪টি আপেল, ১টি আঙুর, ২টি কমলা ও ২টি আম আছে। আপনি এগুলো থেকে কতভাবে ফল বাছাই করতে পারবেন? আপেলের ক্ষেত্রে আপনার কাছে ৫টি বিকল্প আছে (শূন্য থেকে চারটি পর্যন্ত)। একইভাবে আঙুরের জন্য ২টি, কমলার জন্য ৩টি এবং আমের জন্য ৩টি বিকল্প রয়েছে। এই বিকল্পগুলোর গুণফলই হলো মোট বাছাইয়ের উপায়, যা আমাদের উৎপাদক সংখ্যার সূত্রের সাথে হুবহু মিলে যায়।

আপনি যখন ৪টি ২, ১টি ৩, ২টি ৫ এবং ২টি ৭ থেকে বিভিন্ন উপায়ে সংখ্যা বাছাই করবেন, তখন প্রতিটি বাছাই একটি নতুন উৎপাদক তৈরি করবে। যেমন, আপনি যদি দুটি ২, কোনো ৩, কোনো ৫ এবং একটি ৭ নেন, তবে ২×২×৭ = ২৮ হয়, যা ৫৯৮০০-এর একটি উৎপাদক। এভাবে মোট ৯০টি উপায়ে সংখ্যাগুলো বাছাই করা সম্ভব, যার প্রতিটিই ৫৯৮০০-এর একটি উৎপাদক।

পরিশেষে, আপনাদের জন্য একটি প্রশ্ন রইল—আপনারা কি বলতে পারেন, কখন একটি সংখ্যার মোট উৎপাদক সংখ্যা বিজোড় হয়? এই সিরিজের পরবর্তী পর্বে আমরা এর উত্তরসহ আরও নতুন কিছু নিয়ে আলোচনা করব। গণিত ইশকুলের সাথে থাকার জন্য ধন্যবাদ। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: ছোটবেলায় আমরা তো সবাই উৎপাদক নিয়ে পড়েছি, তাই না। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: ছোট একটা সংখ্যার সব উৎপাদক নির্ণয় করতেও কমবেশি প্রায় সবাই আমরা হিমশিম খেয়েছি। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: অঙ্ক করতে গিয়ে এসব দুশ্চিন্তা ছিল আমাদের জন্য খুবই সাধারণ একটা ব্যাপার। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: আমরা 58800 সংখ্যাটিকে উদাহরণ হিসেবে নিই। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: সহজ ভাষায় বললে, সূত্রটা হলো, কোনো সংখ্যাকে যদি এইভাবে প্রকাশ করা যায়, যেখানে ভিত্তিসংখ্যাগুলো সব কটি মৌলিক, কোনো ভিত্তিসংখ্যা একাধিকবার নেই এবং সব সূচক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাহলে ওই সূচকগুলোর প্রতিটির সঙ্গে 1 যোগ করে প্রাপ্ত যোগফলগুলো গুণ করলে ওই সংখ্যার মোট।